☛ ** Intersection d'une droite et d'une sphère

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Soit \(S\) une sphère de centre  \(\Omega(3~;-1~;~7)\)  et de rayon  \(r=3\) .

Soit  \(d\)  une droite de représentation paramétrique  \(\begin{cases} x = t \\ y = -7+4t \\ z = 3+3t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .

1. Déterminer une équation cartésienne de \(S\) .

2. L'objectif est de déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection entre la sphère \(S\) et la droite \(d\) .
    a. On cherche les points  \(\text M(x~;~y~;~z)\)  tels que  \(\begin{cases} x = t \\ y = -7+4t \\ z = 3+3t \\ (x-3)^2+(y+1)^2+(z-7)^2=9\\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .
Justifier alors que  \(t\)  vérifie l'équation  \(t^2-3t+2=0\) .
    b. En déduire les coordonnées des points d'intersection de \(d\) et \(S\) .

Solution

1.  \((x-3)^2+(y+1)^2+(z-7)^2=9\) .

2. a. On remplace les expressions de \(x\) , \(y\) et \(z\) dans l'équation cartésienne de la sphère et on obtient, après développement :  \(t^2-6t+9+36-48t+16t^2+16-24t+9t^2=9\) .
D'où, après simplification :  \(26t^2-78t+52=0 \Longleftrightarrow t^2-3t+2=0\) .
    b. En résolvant avec le discriminant, on a  \(\Delta=(-3)^2-4\times 1\times 2=1\)  puis  \(t_1=\dfrac{3-1}{2}=1\)  et  \(t_2=2\) .
On remplace ces valeurs dans la représentation paramétrique de \(d\) et on trouve les points :  \(\text A(1~;-3~;~6)\)  et  \(\text B(2~;~1~;~9)\) .

Remarque

On appelle \(D(d,\Omega)\) la distance entre le centre  \(\Omega\)  de la sphère de rayon \(r\) et la droite \(d\) .

• `` Si  \(D(d,\Omega)>r\) , alors la droite ne coupe pas la sphère.
  
• Si  \(D(d,\Omega)=r\) , alors la droite coupe la sphère en un seul point.
• Si \(D(d,\Omega) , alors la droite coupe la sphère en deux points.